Về căn bản, một trường là một tập hợp, cùng với hai phép toán được định nghĩa trên tập đó: một phép cộng được viết là a + b, và một phép nhân được viết là a ⋅ b, cả hai đều có tính chất như với số hữu tỉ và số thực, bao gồm cả sự tồn tại của một nghịch đảo phép cộng −a cho mọi phần tử a, và một nghịch đảo phép nhân b−1 cho mọi phần tử b khác 0. Điều này cho ta những phép toán nghịch đảo bao gồm phép trừ a − b, và phép chia a / b, bằng cách định nghĩa:

Định nghĩa cổ điển

Đầy đủ hơn, một trường là một tập F cùng với hai phép toán (còn gọi là luật hợp thành trong) gọi là phép cộng và phép nhân.[1] Một phép toán là một ánh xạ gán mỗi cặp phần tử trong tập hợp với một phần tử của nó. Kết quả của phép cộng a và b được gọi là tổng của a và b và ký hiệu là a + b. Tương tự, kết quả của phép nhân a và b được gọi là tích của a và b, và ký hiệu bằng ab hoặc a ⋅ b. Các phép toán này cần phai tuân thủ những tính chất sau, được gọi là các tiên đề trường. Trong những tiên đề dưới đây, a, b và c là những phần tử bất kỳ của trường F.

• Tính kết hợp của phép cộng và phép nhân: a + (b + c) = (a + b) + c và a · (b · c) = (a · b) · c.
• Tính giao hoán của phép cộng và phép nhân: a + b = b + a và a · b = b · a.
• Đơn vị cộng và đơn vị nhân: tồn tại hai phần tử khác nhau 0 và 1 thuộc F sao cho a + 0 = a và a · 1 = a.
• Nghịch đảo phép cộng: với mọi a thuộc F, tồn tại một phần tử thuộc F, ký hiệu là −a, gọi là nghịch đảo phép cộng của a, sao cho a + (−a) = 0.
• Nghịch đảo phép nhân: với mọi a ≠ 0 thuộc F, tồn tại một phần tử thuộc F, ký hiệu là a−1, 1/a, hoặc 1/a, gọi là nghịch đảo phép nhân của a, sao cho a · a−1 = 1.
• Tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Ta có thể tóm tắt lại như sau: một trường có hai phép toán là phép cộng và phép nhân; nó là một nhóm giao hoán dưới phép cộng, với 0 là đơn vị cộng; những phần tử khác 0 tạo thành một nhóm giao hoán dưới phép nhân, với 1 là đơn vị nhân; phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng.

Định nghĩa khác

Trường cũng có thể được định nghĩa theo những cách khác tương đương. Ta có thể định nghĩa trường bằng bốn phép toán hai ngôi (cộng, trừ, nhân, chia) và những tính chất của chúng. Chia cho không, theo định nghĩa, không được tính.[2] Để tránh việc sử dụng lượng tử tồn tại, trường có thể được định nghĩa với hai phép toán hai ngôi (cộng và nhân), hai phép toán một ngôi (cho ra nghịch đảo phép cộng và phép nhân), và hai phép toán rỗng (các hằng số 0 và 1). Những phép toán này cần phải thỏa mãn những điều kiện trên. Tránh lượng tử tồn tại là một điều kiện quan trọng mang tính xây dựng và trong điện toán.[3] Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa một trường bằng hai phép toán hai ngôi cộng và nhân, một phép toán một ngôi (nghịch đảo phép nhân) và hai hằng số 1 và −1, vì 0 = 1 + (−1) và −a = (−1)a.[nb 1]